算法原理

先上一张堆排序动画演示图片:

图片来自维基百科
图片来自维基百科

1. 不得不说说二叉树

要了解堆首先得了解一下二叉树,在计算机科学中,二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树二叉堆

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于 2 的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。二叉树的第 i 层至多有 2i - 1 个结点;深度为 k 的二叉树至多有 2k - 1 个结点;对任何一棵二叉树 T,如果其终端结点数为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则n0 = n2 + 1。

树和二叉树的三个主要差别:

  • 树的结点个数至少为 1,而二叉树的结点个数可以为 0
  • 树中结点的最大度数没有限制,而二叉树结点的最大度数为 2
  • 树的结点无左、右之分,而二叉树的结点有左、右之分

二叉树又分为完全二叉树(complete binary tree)和满二叉树(full binary tree)

满二叉树:一棵深度为 k,且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树

深度为 3 的满二叉树 full binary tree
深度为 3 的满二叉树 full binary tree

完全二叉树:深度为 k,有 n 个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时,称之为完全二叉树

深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree
深度为 3 的完全二叉树 complete binary tree

2. 什么是堆?

堆(二叉堆)可以视为一棵完全的二叉树,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示(普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示),每一个结点对应数组中的一个元素。

如下图,是一个堆和数组的相互关系

堆和数组的相互关系
堆和数组的相互关系

对于给定的某个结点的下标 i,可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标:

  • Parent(i) = floor(i/2),i 的父节点下标
  • Left(i) = 2i,i 的左子节点下标
  • Right(i) = 2i + 1,i 的右子节点下标

二叉堆一般分为两种:最大堆和最小堆。

最大堆:

  • 最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)
  • 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点(如果存在)

最大堆
最大堆

最小堆:

  • 最小堆中的最小元素值出现在根结点(堆顶)
  • 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点(如果存在)

最小堆
最小堆

3. 堆排序原理

堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出,将剩余的堆继续调整为最大堆,再次将堆顶的最大数取出,这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作:

  • 最大堆调整(Max-Heapify):将堆的末端子节点作调整,使得子节点永远小于父节点
  • 创建最大堆(Build-Max-Heap):将堆所有数据重新排序,使其成为最大堆
  • 堆排序(Heap-Sort):移除位在第一个数据的根节点,并做最大堆调整的递归运算

继续进行下面的讨论前,需要注意的一个问题是:数组都是 Zero-Based,这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变

Zero-BasedZero-Based

相应的,几个计算公式也要作出相应调整:

  • Parent(i) = floor((i-1)/2),i 的父节点下标
  • Left(i) = 2i + 1,i 的左子节点下标
  • Right(i) = 2(i + 1),i 的右子节点下标

最大堆调整(MAX‐HEAPIFY)的作用是保持最大堆的性质,是创建最大堆的核心子程序,作用过程如图所示:

Max-Heapify
Max-Heapify

由于一次调整后,堆仍然违反堆性质,所以需要递归的测试,使得整个堆都满足堆性质,用 JavaScript 可以表示如下:

/**
 * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
 *
 * @array
 *
 * @index 检查的起始下标
 *
 * @heapSize 堆大小
 *
 **/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
 var iMax = index,
 iLeft = 2 * index + 1,
 iRight = 2 * (index + 1);

 if (iLeft 
 iMax = iLeft;
 }

 if (iRight 
 iMax = iRight;
 }

 if (iMax != index) {
 swap(array, iMax, index);
 maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 递归调整
 }
}

function swap(array, i, j) {
 var temp = array[i];
 array[i] = array[j];
 array[j] = temp;
}

通常来说,递归主要用在分治法中,而这里并不需要分治。而且递归调用需要压栈/清栈,和迭代相比,性能上有略微的劣势。当然,按照20/80法则,这是可以忽略的。但是如果你觉得用递归会让自己心里过不去的话,也可以用迭代,比如下面这样:

/**
 * 从 index 开始检查并保持最大堆性质
 *
 * @array
 *
 * @index 检查的起始下标
 *
 * @heapSize 堆大小
 *
 **/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
 var iMax, iLeft, iRight;
 while (true) {
 iMax = index;
 iLeft = 2 * index + 1;
 iRight = 2 * (index + 1);
 if (iLeft 
 iMax = iLeft;
 }

 if (iRight 
 iMax = iRight;
 }

 if (iMax != index) {
 swap(array, iMax, index);
 index = iMax;
 } else {
 break;
 }
 }
}

function swap(array, i, j) {
 var temp = array[i];
 array[i] = array[j];
 array[j] = temp;
}

创建最大堆(Build-Max-Heap)的作用是将一个数组改造成一个最大堆,接受数组和堆大小两个参数,Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组,建立最大堆。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质,所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n,那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始,往上依次调用 Max-Heapify。流程如下:

Build-Max-Heap
Build-Max-Heap

用 JavaScript 描述如下:

function buildMaxHeap(array, heapSize) {
 var i,
 iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2);

 for (i = iParent; i >= 0; i--) {
 maxHeapify(array, i, heapSize);
 }
}

堆排序(Heap-Sort)是堆排序的接口算法,Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆,然后将堆顶和堆底元素交换,之后将底部上升,最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素,所以一次操作之后,堆中存在的最大元素被分离出堆,重复n-1次之后,数组排列完毕。整个流程如下:

Heap-Sort
Heap-Sort

用 JavaScript 描述如下:

function heapSort(array, heapSize) {

 buildMaxHeap(array, heapSize);

 for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) {
 swap(array, 0, i);
 maxHeapify(array, 0, i);
 } 
}

JavaScript 语言实现

最后,把上面的整理为完整的 javascript 代码如下:

function heapSort(array) {

  function swap(array, i, j) {
    var temp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
  }

  function maxHeapify(array, index, heapSize) {
    var iMax,
      iLeft,
      iRight;
    while (true) {
      iMax = index;
      iLeft = 2 * index + 1;
      iRight = 2 * (index + 1);

      if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
        iMax = iLeft;
      }

      if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
        iMax = iRight;
      }

      if (iMax != index) {
        swap(array, iMax, index);
        index = iMax;
      } else {
        break;
      }
    }
  }

  function buildMaxHeap(array) {
    var i,
      iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1;

    for (i = iParent; i >= 0; i--) {
      maxHeapify(array, i, array.length);
    }
  }

  function sort(array) {
    buildMaxHeap(array);

    for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
      swap(array, 0, i);
      maxHeapify(array, 0, i);
    }
    return array;
  }

  return sort(array);
}

参考文章

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